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La geometría prohibida de Penrose

La geometría prohibida de Penrose

En los siguientes dibujos que os muestro, todos estaremos de acuerdo que es más bonito el dibujo de la izquierda, que el de la derecha, ¿no?

Mosaico del santuario Darb- Imam, en Isfahan, Irán.
Mosaico de la Alhambra. (c)Anggarfer.

 

Ambos dibujos se encuentran en palacios islámicos medievales. El dibujo de la derecha es un patrón geometrico… bien aburrido, ¿verdad? Una misma forma (el cuadrado) se repite a lo largo y ancho cubriendo todo el panel. Veamos como, en el dibujo abajo, los cuadrados se repiten en todo el plano, siguiendo un desplazamiento marcado por el par de flechas de colores.

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Sin embargo, el dibujo de la izquierda que os mostré arriba no es un patrón periódico. Veamos el detalle de la foto. Aunque sí se repiten las formas de los azulejos (por ejemplo, los triángulos negros, o los decágonos blancos), el dibujo completo no se puede formar a partir de una repetición sencilla de la posición de los azulejos. Por ejemplo, abajo vemos que los decágonos no siguen un patrón regular.

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Y es más, el dibujo tiene una simetría, digamos, rara.

Para entendernos, os hablaré primero de simetrías. Abajo, vemos qué son las simetrías de 2, 3, 4 y 6 ejes. Se aplican a figuras que, si se rotan sobre un eje, haciéndolo coincidir con el siguiente eje, se ven idénticas. Por ejemplo, tomando el cuadrado, si lo rotamos 90° haciendo coincidir el eje vertical con el horizontal, la forma del cuadrado seguirá viéndose igual.

ejes simetria-01.jpg

Estas simetrías de 2, 3, 4 y 6 ejes son las únicas posibles para que una misma pieza pueda rellenar todo el plano. Como ocurre en las paredes de los baños de casa, se necesitan baldosas con una forma geométrica que tenga esta simetría, si no, no se podría alicatar la pared completamente. Y la forma más habitual para el alicatado suele ser la forma rectangular.

Sin embargo, nos hemos dejado olvidada la simetría de 5 ejes. ¿Qué ocurre con esta simetría? Tradicionalmente no se ha usado porque era problemática. No había forma de encontrar un número pequeño de piezas que, siguiendo una simetría de 5 ejes, pudiesen rellenar el plano (ver el dibujo abajo).

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Figuras con simetría de 5 ejes (5-fold) no pueden rellenar todo el plano. (c) Shavonne Gibson.

El problema de la simetría de 5 ejes estuvo ahí desde el siglo XV, mientras los matemáticos se devanavan los sesos con otro problema: qué tipo de baldosas no periódicas podrían llenar el plano completamente. En esta divertida tarea se enfrascó Robert Berger (1964), que dijo que con 20.426 figuras diferentes se podía rellenar el plano completamente. Para un arquitecto, tener que diseñar 20.426 figuras distintas parece un verdadero dolor de cabeza. El problema siguió abierto hasta que Raphael Robinson (1971) investigó si se podían reducir este número de azulejos distintos y, ¡voilá!. Con 6 formas distintas se podía hacer la tarea. Las formas eran bien caprichosas, os las muestro:

Azulejos de Robinson. (c)Futility closet.
Mosaico de Robinson. (c)Futility closet.

Así se quedó la cosa, hasta que Roger Penrose (1974) pensó que esto no podía ser. Debía haber una forma más sencilla de hacer un dibujo no periódico con formas más elegantes. La construcción se la imaginó de la siguiente manera (a lo Kepler):

    1. Pintar un pentágono (que tiene simetría de 5 ejes).
    2. Subdividir el pentágono en otros 6 pentágonos más pequeños, manteniendo la simetría de 5 ejes.
    3. Rellenar los huecos vacíos con otras tres formas: una estrella, un bote y un diamante.
    4. Y así sucesivamente…
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Teselación de Penrose. (c) Plus Maths.

De primeras, puede parecer un dibujo periódico, donde las formas se repiten… Pero nunca se repiten de manera periódica y ordenada, al contrario que el primer mosaico de baldosas cuadradas que mostré al principio. No se puede encontrar un par de vectores de traslación (solo dos porque estamos en un plano, dos dimensiones…) que haga que los azulejos cubran el plano por completo.

Una variante del dibujo anterior es el formado por sólo dos tipos de azulejos (imagen abajo). Para hacer esta bella composición sólo se han necesitado dos formas distintas de rombos (azules y grises) para cubrir todo el plano. ¡Solo dos! Este genial avance se lo debemos a Penrose, que dió con dos conjuntos de baldosas aperiódicas que podían llenar el plano hasta el infinito.

penrose tiling

No parecía muy complicado ¿no? Pues este problema de geometría ha estado sin resolver durante más de 500 años, desde los mosaicos árabes medievales, que ya tenían simetría de 5 ejes pero no un alicatado sencillo usando el menor número de figuras posible.

Y ahora que el problema está resuelto, el alicatado de Penrose ya se ha usado en varios edificios por todo el mundo. ¿No es precioso?

Este artículo fue originalmente publicado en el blog chicafísica.

Roger Penrose en la entrada del Instituto Mitchell en Texas.